'19/9/10
数遊びで頭の体操 目次
吉見 吉昭
写真1 花咲く(老後)
写真2  約数が30個あるナンバー
 
写真3 エンタープライズ号

 外出すると,いやでも自動車を見かけますが,頭の体操として,私はそのナンバープレートを見て,語呂合わせをしたり暗算したりします。これは金がかからず,独りでできるので老人向きと言えるでしょう。4649 を“宜しく”とか,6340 を“武蔵丸”とかいうのは月並みですが,音読みと訓読みのある日本語は語呂合わせに向いているようで,千差万別の読み方があるようです。テレビのコマーシャルでも,電話番号を覚えやすくするために,語呂合わせをすることが常態化しています。私が住んでいる有料老人ホームの公用車のナンバーは,写真1のように“花咲く老後”にちなんでハナサクと読める 8739 にしています。

 実は語呂合わせより興味があるのは数遊びです。暗算が得意なわけではありませんが,足し算と割り算をやります。123 のように合計が 1+2+3=6 で 3 の倍数だとその数は3で割り切れる(123÷3=41),つまり 3 の倍数で,9 にも同じことが言えます。例えば合計が 2+3+4=9 の234 は 234÷9=26 です。近所の駐車場で写真2のような 3888 というナンバーを見つけました。数字の和が 3+8+8+8=27 という 9 の倍数なので,3 と 9 で割ってみます。さらに偶数なので,2, 3, 6, 9 で割り切れることは即座に分かりましたが,帰宅してから調べてみると,この数字には次の 30 個の約数があります。

素因数分解の公式によれば,この数は 2 の 4乗(16)と 3 の 5 乗(243)の積なので,約数の個数は(4+1)×(5+1)=30 になります。SFファンの長男の車のナンバーの 1701写真3のSF 映画スタートレックの宇宙船 U.S.S. エンタープライズ号のナンバーと同じですが,1+7+1=9 なので 9 の倍数です。3 で 5 回も割れる数字で,約数は 12 個あります[1701=35×71 → (5+1)×(1+1)=12]。長男によれば,約数の多い数字には下記のようなものがあるそうです。

 毎晩のように枕元のラジオでNHKの“深夜便”(FM 82.8 MHzAM666 kHz)と民放のFM COCOLO76.5 MHz)を子守唄代わりに聴いています。数字にこだわる悪い癖で,小数点を無視して 3 桁の数字として眺めますと,いずれも 9 の倍数です(AMラジオの周波数がすべて 9 の倍数であることはテレビ番組の“トリビアの泉”でも取り上げたようです)。その上偶数または 5 の倍数ですから,いずれも約数が多いのようにみえます。調べますと,840 の約数の32 個(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 420, 840)には及びませんが,828 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 23, 36, 46, 69, 92, 138, 207, 276, 414, 82818で,666 と 765 にはそれぞれ 12 個の約数があります。


図1 循環節の一例

図2 循環数の加算例
 
図3 “カックロ”パズル

 123,234,・・・,789という連番の3桁の数がすべて3の倍数であることは,数字をabcで表すと,a=bー1,c=b+1なのでa+b+c=(bー1)+b+(b+1)=3bであることから明らかです。a+b+cが3の倍数であれば,abcも3の倍数になります。数字の順番がbca,cabなどと変わっても同様です。

 旧制の学校では教わりませんでしたが,“完全数”,“巡回数(ダイヤル数)”などの不思議な数があるようで,『博士の愛した数式』やネットでも解説されています。完全数とは,その数自身を除く約数の和がその数自身と等しい自然数で,6(=1+2+3),28 (=1+2+4+7+14) などがあります。496 (=1+2+4+8+16+31+62+124+248) という完全数は古代ギリシャ人が神として崇めたそうですが,物理学の“超弦理論”でも最新の数式の中にこの数が現われるそうです。ちなみに,私の生まれた 1928 年の数字は 19 という素数と 28 という完全数から成っています。一方,巡回数の代表例は 7 の逆数(1÷7=0.142857142857~)に繰り返し現われる“循環節”で, 0, 3, 6, 9 以外の 6 個の数字です。これに関しては,図1のように二つ飛ばした数字の和が 1+8=
4+5=2+7=9 なので 14+28+57=99,142+857=999,142857×7=999999 と,9 のオンパレードになります。また,142857 の 2 倍から 6 倍までの数は,下記のように同じ順序を保ったままで頭の数字が 2, 4, 5, 7, 8 と変わるだけです。

 これらの数字でも,前の 3 桁と後の 3 桁を足すと,285+714=999, 428+571=999 という具合にすべて 999 になることは,図2を見れば明らかです。

 循環数が数遊びとすれば,“カックロ”は頭の体操でしょう。本家のアメリカの Cross Sum Puzzle(交差合計パズル)のほうが分かりやすい名称と思います。カックロの問題は図3 のようになっており, 2 ~ 9 個の連続した升目があります。そこに 1 から 9 までの数字を埋めて行き,行の合計が左のの中,列の合計が上のの中の数になるようにしますが,同じ数列で同じ数字を二度以上使ってはいけません。例えば,合計 15 の 行と合計 29 の 列が交差する図3の場合の交点には,必ず 15 (=1+2+3+4+5)と 29 (=5+7+8+9)に共通な 5 が入ります。つぎに 1+2+3+4=10 とか 6+7+8+9=30 のように,ある桁数でその合計になる数字の組合せが唯一の場合に目をつけます。最後は試行錯誤で数を入れます。㈱ニコリが発行している本では,エキスパート・中級者・初心者による解答時間の目安が書いてありますが,エキスパードで 70 分,初心者で 16 時間かかるという難問もあります。ちなみに私はほぼエキスパートの域に達しております。


1÷7=0.142857~の右辺を 7 倍しても,0.999999 と,1 に戻りませんが,a=0.142857, 7a=0.99999, 70a=9.999999 と置くと,70a-7a=63a=9 となりますので,63a=9 の両辺を9で割ると7a=1 に戻ります。最近の電卓では,1÷7=0.142857 を求めた後,改めて 0.142857×7 と打込むと 0.99999 となりますが,継続して 1÷7×7 と打込むと答えは 1 になります。